Question

8．过双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A．若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），则双曲线C的方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{7}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{8}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1

Answer 1

分析 根据圆的性质，求出圆心坐标，即c=4求出A的坐标，代入圆的方程进行求解即可．

解答 解：∵以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点（O为坐标原点），
∴半径R=c=4，则圆的标准方程为（x-4）²+y²=16，
A（a，0），y=$\frac{b}{a}•a$=b，即B（a，b），
则（a-4）²+b²=16，
即a²-8a+16+b²=16，
即c²-8a=0，即8a=16，
则a=2，b²=16-4=12，
则双曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1，
故选：D

点评 本题主要考查双曲线方程的求解，根据圆的性质先求出半径c=4是解决本题的关键．