Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2

3

．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设不过原点O的直线l与椭圆C交于两点M、N，且直线OM、MN、ON的斜率依次满足k_MN²=k_OM•k_ON，求△OMN面积的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）根据椭圆的几何性质结合a²=b²+c²解方程组，可以求出a，b的值；
（2）先利用待定系数法给出直线的方程，代入椭圆方程消去y得到关于x的一元二次方程，然后结合韦达定理，斜率公式把k_MN²=k_OM•k_ON表达出来，找到待定系数k，m的关系，然后将面积用k，m表示出来，再将刚才的k，m的关系带入，最终把面积表示成一个变量的函数的形式，通过求函数的最值最终解决问题．

解答： 解析：（1）由已知得

2a=2×2b c a = 3 2 c2=a2-b2

，∴

a=2 b=1

，所以C方程：

x2

4

+y2=1．
（2）由题意可设直线l的方程为：y=kx+m（k≠0，m≠0）
联立

y=kx+m x2 4 +y2=1

，消去y并整理，得：（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，
则△=64k²m²-16（1+4k²）（m²-1）=16（4k²-m²+1）＞0，
此时设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），∴x1+x2=-

8km

1+4k2

，x1•x2=

4(m2-1)

1+4k2

，
于是y1•y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2，
又直线OM，MN，ON的斜率满足

k

2 MN

=kOM•kON，
∴

y1

x1

•

y2

x2

=

k2x1x2+km(x1+x2)+m2

x1x2

=k2，所以-

8k2m2

1+4k2

+m2=0，
由m≠0，得k2=

1

4

⇒k=±

1

2

，又由△＞0，得0＜m²＜2，
显然m²≠1，
设原点O到直线l的距离为d，则S△OMN=

1

2

|MN|d=

1

2

|m|

1-k2

1-k2

|x1-x2|=

1

2

|m|

(x1-x2)2-4x1x2

=

-(m2-1)2-1

，
故由m得取值范围可得△OMN面积的取值范围为（0，1）．

点评：本题是直线与椭圆位置关系的综合题，一般是将直线方程代入椭圆，然后消元得到关于x（或y）的一元二次方程，借助于韦达定理完成用所设的参数表示所求的过度，最终利用方程或函数的思想解决问题．