Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，椭圆的离心率为

1

2

，连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4

3

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过右焦点F₂作斜率为K的直线L与椭圆C交M、N两点，在y轴上是否存在点P（0，m）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）e=

1

2

，ab=2

3

，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设l：y=k（x-1），联立

y=k(x-1) x2 4 + y2  3 =1

，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由此利用韦达定理结合已知条件能求出m的取值范围．

解答： （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）椭圆的离心率为e=

c

a

=

1

2

，
又∵连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4

3

，
∴ab=2

3

，
解得a=2，b=

3

，c=1，
∴所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…（6分）
（Ⅱ）∵椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1，∴F₂（1，0），
设l：y=k（x-1），
联立

y=k(x-1) x2 4 + y2  3 =1

，整理得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
△=64k⁴-4（3+4k²）（4k²-12）＞0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x1+x2=

8k2

3+4k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2），

PM

+

PN

=（x₁，y₁-m）+（x₂，y₂-m）=（x₁+x₂，y₁+y₂-2m），
由于菱形对角线垂直，则(

PM

+

PN

)•

MN

=0，
得（x₁+x₂）•1+（y₁+y₂-2m）•k=0，
当k=0时，上式恒成立．又P、M、N三点不共线，
所以m∈R，且m≠0，
当k≠0时，由上式可得m=

k

3+4k2

，
解得-

3

12

≤m≤

3

12

，且m≠0．
故存在满足题意的P，当k=0时，m∈R且m≠0．
当k≠0时，m的取值范围是-

3

12

≤m≤

3

12

，且m≠0．…（13分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意直线与椭圆的位置关系的综合运用．