Question

已知

p

=（1+

3

cos2x，1），

q

=（-1，sin2x+n）（x∈R，n∈N^*），且f（x）=

p

•

q

．
（Ⅰ）在锐角△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且c=3，△ABC的面积为3

3

，当n=1时，f（A）=

3

，求a的值．
（Ⅱ）若x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最大值为a_n（a_n为数列{a_n}的通项公式），又数列{b_n}满足b_n=

1

an-1an

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）先求出f（x）=

p

•

q

=2sin(2x-

π

3

)+n-1当n=1是，由f（A）=

3

得2sin(2x-

π

3

)=

3

，求出A的值，由三角形的面积公式及余弦定理求出a；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出f（x）取最大值为n+1，得到数列{a_n}的通项公式，bn=

1

an-1•an

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，求出数列的前n项和．

解答： 解（Ⅰ）f（x）=

p

•

q

=-1-

3

cos2x+sin2x+n
=sin2x-

3

cos2x+n-1
=2sin(2x-

π

3

)+n-1…（2分）
当n=1是，由f（A）=

3

得2sin(2x-

π

3

)=

3

，
∴2sin(2A-

π

3

)=

3

2

，又△ABC是锐角三角形，
∴-

π

3

＜2A-

π

3

＜

2π

3

∴∴2A-

π

3

=

π

3

即A=

π

3

，…（4分）
又由S△ABC=

1

2

bcsinA=

3

2

b×

3

2

=3

3

得：b=4，…（5分）
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=13
∴a=

13

…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=2sin(2x-

π

3

)+n-1
由0≤x≤

π

2

，可得：-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，当2x-

π

3

=

π

2

即x=

5π

12

时，
此时sin(2x-

π

3

)=1，∴f（x）取最大值为n+1，∴a_n=n+1…（10分）
又bn=

1

an-1•an

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴Tn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

…+

1

n

-

1

n+1

=

n

n+1

  …（13分）

点评：本题考查三角不等式解法；三角形的正弦定理、余弦定理；数列的求和方法：关键看通项的特点．