Question

已知数列{a_n}中，a₁=-

1

2

，当n≥2时，2a_n=a_n-1-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）设b_n=

1

2nanan+1

，数列{b_n}前n项的和为S_n，求证：S_n＜2．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式,数列与不等式的综合

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由递推公式构造构造数列{a_n+1}为等比数列，即求得；
（2）利用裂项相消法求和，再进行放缩．

解答： 解：（1）当n≥2时，2a_n=a_n-1-1⇒2（a_n+1）=a_n-1+1
∴

an+1

an-1+1

=

1

2

，
∴数列{a_n+1}是以a₁+1=

1

2

为首项，公比为

1

2

的等比数列--------3分
∴a_n+1=

1

2n

⇒a_n=

1

2n

-1-------------------------------6分
（2）b_n=

1

2n( 1 2n -1)( 1 2n+1 -1)

=

2n+1

(2n-1)(2n+1-1)

=2（

1

2n-1

-

1

2n+1-1

）------9分
∴s_n=2（

1

21-1

-

1

22-1

）+2（

1

22-1

-

1

23-1

）+…+2（

1

2n-1

-

1

2n+1-1

）
=2（1-

1

2n+1-1

）＜2-------------------------------------------12分

点评：本题考查递推数列求通项公式的方法----构造法，及利用裂项相消法对数列求和，应多体会其特点．