Question

在平面直角坐标系xOy中，点P到两圆C₁与C₂的圆心的距离之和等于4，其中C₁：x²+y²-2

3

y+2=0，C₂：x²+y²+2

3

y-3=0．设点P的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）设直线y=kx+1与C交于A，B两点．问k为何值时

OA

⊥

OB

？此时|

AB

|的值是多少？

Answer 1

考点：向量在几何中的应用

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用点P到两圆C₁与C₂的圆心的距离之和等于4，可得点P的轨迹C是以(0，-

3

)，(0，

3

)为焦点，长半轴长为2的椭圆，从而可求C的方程；
（2）直线方程代入椭圆方程，

OA

⊥

OB

，可得其数量积为0，即可得出结论．

解答： 解：（1）由已知得两圆的圆心坐标分别为C1(0，

3

)，C2(0，-

3

)．（1分）
设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，-

3

)，(0，

3

)为焦点，长半轴长为2的椭圆  （2分）
它的短半轴长b=

22-( 3 )2

=1，（3分）
故曲线C的方程为x2+

y2

4

=1．  利用                                 （4分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐标满足

x2+ y2 4 =1 y=kx+1.

消去y并整理得（k²+4）x²+2kx-3=0，（5分）
∵k²+4≠0，△=4k²+12（k²+4）=16（k²+3）＞0，
∴x1，2=

-2k± △

2(k2+4)

，
故x1+x2=-

2k

k2+4

，x1x2=-

3

k2+4

．                           （6分）
又y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1（7分）
于是x1x2+y1y2=-

3

k2+4

-

3k2

k2+4

-

2k2

k2+4

+1=

-4k2+1

k2+4

．        （8分）
令

-4k2+1

k2+4

=0，得k=±

1

2

．（9分）
∵

OA

•

OB

=x1x2+y1y2，
∴当k=±

1

2

时，有

OA

•

OB

=0，即

OA

⊥

OB

．（10分）
当k=±

1

2

时，x1+x2=?

4

17

，x1x2=-

12

17

．                    （11分）

|AB|

=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

(1+k2)(x2-x1)2

，（12分）
而(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1x2=

42

172

+4×

12

17

=

43×13

172

，（13分）
∴

|AB|

=

4 65

17

．                                          （14分）

点评：本题考查椭圆的定义，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，

OA

⊥

OB

，可得其数量积为0，是解题的关键．