Question

已知抛物线C₁：y²=8x与双曲线C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）有公共焦点F₂，点A是曲线C₁，C₂在第一象限的交点，且|AF₂|=5．
（1）求双曲线C₂的方程；
（2）以双曲线C₂的另一焦点F₁为圆心的圆M与直线y=

3

x相切，圆N：（x-2）²+y²=1．过点P（1，

3

）作互相垂直且分别与圆M、圆N相交的直线l₁和l₂，设l₁被圆M截得的弦长为s，l₂被圆N截得的弦长为t，问：

s

t

是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出双曲线C₂的焦点为F₁（-2，0）、F₂（2，0），且|AF₂|=5，|AF₁|=7，点A在双曲线C₂上，由此能求出双曲线C₂的方程．
（2）

s

t

为定值．由已知条件求出设圆M的方程为M：（x+2）²+y²=3，设l₁的方程为kx-y+

3

-k=0，设l₂的方程为x+ky-

3

k-1=0，由此利用点到直线的距离公式和弦长公式能求出证明

S

t

为定值

3

．

解答： 解：（1）∵抛物线C1：y2=8x的焦点为F₂（2，0），
∴双曲线C₂的焦点为F₁（-2，0）、F₂（2，0），…（1分）
设A（x₀，y₀）在抛物线C1：y2=8x上，且|AF₂|=5，
由抛物线的定义得，x₀+2=5，
∴x₀=3，∴y02=8×3=24，∴y0=2

6

，…（3分）
∴|AF₁|=

(3+2)2+(±2 6 )2

=7，…（4分）
又∵点A在双曲线C₂上，由双曲线定义得：
2a=|7-5|=2，∴a=1，∴双曲线C₂的方程为：x2-

y2

3

=1．    …（6分）
（2）

s

t

为定值．下面给出说明．
设圆M的方程为：（x+1）²+y²=r²，
∵圆M与直线y=

3

x相切，
∴圆M的半径为r=

2 3

1+( 3 )2

=

3

，
∴圆M：（x+2）²+y²=3．   …（7分）
当直线j₁的斜率不存在时不符合题意，…（8分）
设l₁的方程为y-

3

=k（x-1），即kx-y+

3

-k=0，
设l₂的方程为y-

3

=-

1

k

（x-1），即x+ky-

3

k-1=0，
∴点F₁到直线l₁的距离为d1=

|3k- 3 |

1+k2

，
点F₂到直线l₂的距离为d2=

| 3 k-1|

1+k2

，…（10分）
∴直线l₁被圆M截得的弦长：
S=2

3-( 3k- 3 1+k2 )2

=2

6 3 k-6k2 1+k2

，…（11分）
直线l₂被圆N截得的弦长t=2

1-( 3 k-1 1+k2 )2

=2

2 3 k-2k2 1+k2

，…（12分）
∴

S

t

=

6 3 k-6k2 2 3 k-2k2

=

6( 3 k-k2) 2( 3 k-k2)

=

3

，
∴

S

t

为定值

3

．…（13分）

点评：本题考查双曲线方程的求法，考查两数的比值为定值的判断与证明，解题时要注意点到直线的距离公式和弦长公式的合理运用．