Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}满足b_n=log₂（a_n+1），a₁=1且对于任意n≥2，n∈N₊有a_n=2a_n-1+1．
（1）证明数列{a_n+1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）通过已知条件，利用等比数列的定义，直接求出a_n+1=2（a_n-1+1），即可求证数列{a_n+1}是等比数列；
（2）利用（1）直接求数列{a_n}的通项公式a_n，然后求出{b_n}的通项公式b_n，可得c_n=a_n•b_n的通项公式，利用分组求和法和错位相减法，可得答案．

解答： 证明：（1）当n=1时，S₁=2a₁-1，得a₁=1．                   （1分）
∵S_n=2a_n-n，
∴当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-（n-1），
两式相减得：a_n=2a_n-2a_n-1-1，
∴a_n=2a_n-1+1．    （3分）
∴a_n+1=2a_n-1+2=2（a_n-1+1），（5分）
∴{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，2为公比的等比数列．   （6分）
解：（2）∵（2）由（1）得a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ-1，n∈N^*．   （8分）
∴b_n=log₂（a_n+1）=log₂2ⁿ=n，n∈N^*．               （10分）
c_n=a_n•b_n=n（2ⁿ-1）=n•2ⁿ-n，
令T′=1×2+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ，…①，
2T′=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，…②
①-②得：
-T'=2+2²+2³+…+2^n-1+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=-2（1-2ⁿ）-n•2ⁿ⁺¹T'=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹…（10分）
故T″=1+2+3+…+n=

(1+n)n

2

…（11分）
T=T′-T″=2+(n-1)•2n+1-

n(1+n)

2

．…（12分）

点评：本题是综合题，考查数列的基本性质，等比数列的证明，通项公式的求法，数列求和，考查计算能力，注意解题方法的应用．