Question

已知函数f（x）=1-4sinxsin（x-

π

3

），在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且f（A）=1，b+c=3．
（1）求角A的大小；
（2）求边BC上高的最大值．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：综合题,解三角形

分析：（1）先化简函数，再利用f（A）=1，可得2sin（2A+

π

6

）=1，即可求角A的大小；
（2）利用等面积表示出边BC上高，再利用配方法、结合基本不等式求最大值．

解答： 解：（1）f（x）=1-4sinxsin（x-

π

3

）=cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

），
∵f（A）=1，
∴2sin（2A+

π

6

）=1，
∴A=

π

3

；
（2）边BC上高为h，则
∵a=

b2+c2-bc

=

9-3bc

，
∴

1

2

9-3bc

•h=

1

2

bcsin

π

3

，
∴h=

3 2 bc

9-3bc

=

bc

2 3-bc

=

1

2 3 b2c2 - 1 bc

=

1

2 3( 1 bc - 1 6 )2- 1 12

，
∵b+c=3≥2

bc

，
∴

1

bc

≥

4

9

，
∴

1

2 3( 1 bc - 1 6 )2- 1 12

≤

3 3

4

．
∴边BC上高的最大值为

3 3

4

．

点评：本题考查三角函数的化简，考查三角形的面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．