Question

在边长为5的菱形ABCD中，AC=8，现沿对角线BD把△ABD折起，折起后使∠ADC的余弦值为

9

25

．
（1）求证：平面ABD⊥平面CBD；
（2）若M是AB的中点，求三棱锥A-MCD的体积．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出AO⊥平面BCD，由此能证明平面ABD⊥平面CBD．    
（Ⅱ）分别以OA，OC，OD所在直线为坐标轴建系，利用向量法能求出三棱锥A-MCD的体积．

解答： （Ⅰ）证明：菱形ABCD中，记AC，BD交点为O，AD=5，∴OA=4，OD=3，
翻折后变成三棱椎A-BCD，在△ACD中，
AC²=AD²+CD²-2AD•CD•cos∠ADC
=25+25-2×5×5×

9

25

，
在△AOC中，OA²+OC²=32=AC²，
∴∠AOC=90°，即AO⊥OC，又AO⊥BD，OC∩BD=O，
∴AO⊥平面BCD，
又AO?平面ABD，∴平面ABD⊥平面CBD．    
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OA，OC，OD两两互相垂直，分别以OA，OC，OD所在直线为坐标轴建系，
则A （0，0，4），B（0，-3，0），C（4，0，0），D（0，3，0），M（0，-

3

2

，2），

MC

=（4，

3

2

，-2），

AC

=（4，0，-4），

DC

=（4，-3，0），
设平面ACD的一个法向量

n

=（x，y，z），
则由

n • AC =0 n • DC =0

，得

4x-4z=0 4x-3y=0

，
令y=4，得

n

=（3，4，3），
∵

MA

=（0，

3

2

，2），∴A到平面ACD的距离d=

| MA • n |

| n |

=

|0+6+6|

34

=

6 34

17

．
∵在边长为5的菱形ABCD中，AC=8，
∴S_△ACD=

1

2

×2

25-16

×4=12，
∴三棱锥A-MCD的体积V=

1

3

×S△ACD×d=

1

3

×12×

6 34

17

=

24 34

17

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．