Question

已知椭圆Q的中心为坐标原点，焦点在x轴上，离心率e=

3

2

，过椭圆Q右焦点且垂直于x轴的一条直线交椭圆于E，F两点，|EF|=1．
（Ⅰ）求椭圆Q的方程；
（Ⅱ）已知两点C(-

6

2

，0)，D(

6

2

，0)，设A，B，M是椭圆Q上的三点，满足

OM

=

3

5

OA

+

4

5

OB

，点N为线段AB的中点，求|NC|+|ND|的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：向量与圆锥曲线

分析：（Ⅰ）由题意设出椭圆方程，结合已知列出关于a，b，c的方程组，求出a，b后可得椭圆的方程；
（Ⅱ）设出A，B的坐标，由

OM

=

3

5

OA

+

4

5

OB

得到M的坐标，把M的坐标代入椭圆方程得到
有

1

4

•(

3

5

x1+

4

5

x2)2+(

3

5

y1+

4

5

y2)2=1，再由A，B在椭圆上整理可得点N在椭圆

x2

2

+2y2=1上，且C，D为该椭圆的两个焦点坐标，则答案可求．

解答： 解：（Ⅰ） 依据题意可设椭圆Q：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，F（c，0），则有：

c a = 3 2 2b2 a =1 a2=b2+c2

，解得

a2=4 b2=1 c2=3

，
∴椭圆Q：

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

x 2 1

4

+

y

2 1

=1，

x 2 2

4

+

y

2 2

=1 ①，
由

OM

=

3

5

OA

+

4

5

OB

，得M(

3

5

x1+

4

5

x2，

3

5

y1+

4

5

y2)，
又点M在椭圆Q：

x2

4

+y2=1上，
则有

1

4

•(

3

5

x1+

4

5

x2)2+(

3

5

y1+

4

5

y2)2=1 ②，
综合①、②得：

x1•x2

4

+y1•y2=0．
又线段AB的中点为N(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)，
且

1

4

(

x1+x2

2

)2+(

y1+y2

2

)2
=

1

4

(

x12

4

+y12)+

1

4

(

x12

4

+y12)+

1

2

(

x1•x2

4

+y1•y2)
=

1

4

+

1

4

=

1

2

．
上式表明，点N在椭圆

x2

2

+2y2=1上，且该椭圆的两个焦点恰好为C(-

6

2

，0)，D(

6

2

，0)两点，
由椭圆定义有|NC|+|ND|=2

2

．

点评：本题考查了椭圆方程的求法，主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，训练了“舍而不求”的数学解题思想方法，圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是压轴题．