Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点F₁，F₂，M是椭圆上任意一点，若以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆恰好经过椭圆的焦点，且△MF₁F₂的周长为4+2

2

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l是圆O：x²+y²=

4

3

上动点P（x₀，y₀）（x₀•y₀≠0）处的切线，l与椭圆C交与不同的两点Q，R，证明：∠QOR的大小为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,圆的切线方程,椭圆的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点，可得b=c，利用△PF₁F₂的周长为4+2

2

，可得a+c=2+

2

，从而可求椭圆的几何量，进而可得椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线的l方程与椭圆方程联立，记Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），利用韦达定理，确定x₁x₂+y₁y₂=0，即可证得结论．

解答： （Ⅰ）解：因为以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点，所以b=c，可得a=

2

c，
又因为△PF₁F₂的周长为4+2

2

，所以a+c=2+

2

，所以c=

2

，
所以a=2，b=

2

，所以所求椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1．   　　　　　   …（5分）
（Ⅱ）证明：直线的l方程为x₀x+y₀y=

4

3

，且x₀²+y₀²=

4

3

，记Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），
联立直线与椭圆方程，消去y得（2x₀²+y₀²）x²-

16

3

x₀x+

32

9

-4y₀²=0，
∴x₁+x₂=

16 3 x0

2x02+y02

，x₁x₂=

32 9 -4y02

2x02+y02

，…（8分）
∴y₁y₂=

16 9 -4x02

2x02+y02

，…（10分）
∴x₁x₂+y₁y₂=

32 9 -4y02

2x02+y02

+

16 9 -4x02

2x02+y02

=0
∴∠QOR=90°为定值．…（12分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．