Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，右焦点为F（1，0），A，B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且△APB面积的最大值为2

3

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线AP与直线x=2交于点D．试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设椭圆C方程，利用右焦点为F（1，0），△APB面积的最大值为2

3

，建立方程组，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线AP的方程，可得D的坐标，直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求出P的坐标，分类讨论，结合点到直线的距离公式，即可得出结论．

解答： （Ⅰ）解：由题意可设椭圆C方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），则
因为右焦点为F（1，0），△APB面积的最大值为2

3

，
所以

1 2 •2a•b=2 3 a2-b2=1

，
所以a=2，b=

3

，
所以椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）以BD为直径的圆与直线PF相切．
证明：由题意，设直线AP的方程为y=k（x+2）（k≠0）．
则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k）．
由直线方程代入椭圆方程可得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0．
设点P的坐标为（x₀，y₀），则-2x₀=

16k2-12

3+4k2

．
所以x₀=

6-8k2

3+4k2

，y₀=

12k

3+4k2

．
因为点F坐标为（1，0），
当k=±

1

2

时，点P的坐标为（1，±

3

2

），点D的坐标为（2，±2）．
直线PF⊥x轴，此时以BD为直径的圆（x-2）²+（y-2k）²=1与直线PF相切．
当k≠±

1

2

时，则直线PF的斜率

y0

x0-1

=

4k

1-4k2

．
所以直线PF的方程为y=

4k

1-4k2

（x-1）． 
点E到直线PF的距离d=

| 8k 1-4k2 -2k- 4k 1-4k2 |

16k2 (1-4k2)2 +1

=2|k|．
又因为|BD|=4|k|，所以d=

1

2

|BD|．
故以BD为直径的圆与直线PF相切．
综上得，以BD为直径的圆与直线PF相切．

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．