Question

19．某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：（单位：万美元）

项目 类别	年固定 成本	每件产品 成本	每件产品 销售价	每年最多可 生产的件数
A产品	20	m	10	200
B产品	40	8	18	120

其中年固定成本与年生产的件数无关，c为待定常数，其值由生产A产品的原材料价格决定，预计c∈[6，9]另外，年销售x件B产品时需上交0.05x²万美元的特别关税．假设生产出来的产品都能在当年销售出去．
（1）写出该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y₁，y₂与生产相应产品的件数x之间的函数关系并指明其定义域；
（2）如何投资最合理（可获得最大年利润）？请你做出规划．

Answer 1

分析 （1）利用“利润=收入-成本”分别代入计算即得结论；
（2）通过（1）分别计算出两种产品的年利润最大值，进而作差比较即得结论．

解答 解：（1）由年销售量为x件，按利润的计算公式，有生产A、B两产品的年利润y₁，y₂分别为：
y₁=10x-（20+cx）=（10-c）x-20（0≤x≤200且x∈N），
y₂=18x-（40+8x）-0.05x²=-0.05（x-100）²+460（0≤x≤120且x∈N），
（2）∵6≤c≤9，
∴10-c＞0，
∴y₁=（10-c）x-20为增函数，
又∵0≤x≤200，x∈N，
∴当x=200时，生产A产品有最大利润为（10-c）×200-20=1980-200c（万美元），
又∵y₂=-0.05（x-100）²+460（0≤x≤120且x∈N），
∴当x=100时，生产B产品有最大利润为460，
因为（y₁）_max-（y₂）_max=（1980-200c）-460=1520-200c=$\left\{\begin{array}{l}{＞0，}&{6≤c＜7.6}\\{=0，}&{c=7.6}\\{＜0，}&{7.6＜c≤9}\end{array}\right.$，
所以，当6≤c＜7.6时，可投资生产A产品200件；
当c=7.6时，生产A产品与生产B产品均可；
当7.6＜c≤9时，可投资生产B产品100件．

点评 本题考查函数模型的选择与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．