Question

9．已知函数f（x）=-4cos²x+4$\sqrt{3}$asinxcosx+2，若f（x）的图象关于点（$\frac{π}{12}$，0）对称．
（1）求实数a，并求出f（x）的单调减区间；
（2）求f（x）的最小正周期，并求f（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）的图象关于点（$\frac{π}{12}$，0）对称，代入可得：$\sqrt{3}$a-$\sqrt{3}$=0，解得a=1．进而化简函数解析式，结合正弦函数的图象和性质，可得f（x）的单调减区间；
（2）由ω=2，可得函数的周期，当x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]时，求出相位角的取值范围，结合正弦函数的图象和性质，可得f（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]上的值域．

解答 解：（1）∵函数f（x）=-4cos²x+4$\sqrt{3}$asinxcosx+2=2$\sqrt{3}$asin2x-2cos2x，
∵f（x）的图象关于点（$\frac{π}{12}$，0）对称．
∴$\sqrt{3}$a-$\sqrt{3}$=0，
解得：a=1，
∴函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin2x-2cos2x=4sin（2x-$\frac{π}{6}$），
由2x-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{3π}{2}$+2kπ]，k∈Z得：
x∈[$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{5π}{6}$+kπ]，k∈Z，
故f（x）的单调减区间为[$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{5π}{6}$+kπ]，k∈Z；
（2）由（1）中函数解析式可得ω=2，
故T=π，
当x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]时，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，
当2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{2}$，即x=-$\frac{π}{6}$时，函数取最小值-4，
当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，即x=$\frac{π}{6}$时，函数取最大值2，
故f（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]上的值域为[-4，2]．

点评 本题考查的知识点是正弦函数的图象和性质，熟练掌握正弦函数的图象和性质，是解答的关键．