Question

14．设{x_n}是首项为x₁=2，公比为q（q∈N^*）的等比数列，且6x₃是16x₁与2x₅的等差中项，数列{y_n}的前n项和S_n=n²（n∈N^*）．
（1）求数列{x_n}的通项公式；
（2）若不等式λx_ny_n-3x_n+1≤n²•2ⁿ对任意n∈N^*恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由等差数列的中项的性质和等比数列的通项公式，解方程可得q=2，再由等比数列的通项公式，即可得到所求；
（2）运用数列的通项和求和的关系，可得y_n=2n-1，由题意可得λ≤$\frac{{n}^{2}+6}{2n-1}$对任意n∈N^*恒成立，对不等式的右边变形，运用基本不等式求得最小值，即可得到所求范围．

解答 解：（1）由6x₃是16x₁与2x₅的等差中项，可得
12x₃=16x₁+2x₅，即有6q²=8+q⁴，
解得q²=4或q²=2，
由q∈N^*，可得q=2．
又x₁=2，可得x_n=x₁q^n-1=2ⁿ（n∈N^*），
（2）由数列{y_n}的前n项和S_n=n²（n∈N^*），
可得y₁=S₁=1，
n＞1时，y_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
综上可得y_n=2n-1（n∈N^*），
λx_ny_n-3x_n+1≤n²•2ⁿ对任意n∈N^*恒成立，即为
λ•2ⁿ•（2n-1）-3•2ⁿ⁺¹≤n²•2ⁿ对任意n∈N^*恒成立，
即有λ≤$\frac{{n}^{2}+6}{2n-1}$对任意n∈N^*恒成立，
由$\frac{{n}^{2}+6}{2n-1}$=$\frac{1}{4}$[（2n-1）+$\frac{25}{2n-1}$+2]≥$\frac{1}{4}$[2$\sqrt{（2n-1）•\frac{25}{2n-1}}$+2]=3，
当且仅当2n-1=$\frac{25}{2n-1}$，即n=3时，取得最小值3．
从而λ≤3．即实数λ的取值范围是（-∞，3]．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式求最值的方法，属于中档题．