Question

9．已知函数$f（x）=\frac{16}{x}+{x^2}，x∈（0，+∞）$
（1）利用函数单调性定义，求函数f（x）单调区间；
（2）已知函数g（x）=|lgx|．若0＜a＜b，且g（a）=g（b），求a²+16b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设0＜x₁＜x₂，结合已知中的解析式，及函数单调性的定义，可求出函数f（x）单调区间；
（2）g（a）=g（b），所以|lga|=|lgb|，结合0＜a＜b和对勾函数的图象和性质，可得a²+16b的取值范围．

解答 解：（1）设0＜x₁＜x₂，
所以$f（{x_1}）-f（{x_2}）={x_1}^2+\frac{16}{x_1}-（{x_2}^2+\frac{16}{x_2}）=（{x_1}-{x_2}）（{x_1}+{x_2}-\frac{16}{{{x_1}{x_2}}}）$
当0＜x₁＜x₂≤2时，x₁+x₂＜4，0＜x₁x₂＜4，$\frac{16}{{{x_1}{x_2}}}＞4$，
所以${x_1}+{x_2}-\frac{16}{{{x_1}{x_2}}}＜0$，
所以$（{x_1}-{x_2}）（{x_1}+{x_2}-\frac{16}{{{x_1}{x_2}}}）＞0$，
所以f（x₁）＞f（x₂）…（4分）
当2≤x₁＜x₂时，x₁+x₂＞4，x₁x₂＞4，$\frac{16}{{{x_1}{x_2}}}＜4$，
所以${x_1}+{x_2}-\frac{16}{{{x_1}{x_2}}}＞0$，
所以$（{x_1}-{x_2}）（{x_1}+{x_2}-\frac{16}{{{x_1}{x_2}}}）＜0$，所以f（x₁）＜f（x₂）…（8分）
所以f（x）在区间（0，2]上递减；在区间[2，+∞）上递增
（2）g（a）=g（b），所以|lga|=|lgb|
∴a=b（舍）或ab=1…（10分）
因为0＜a＜b且ab=1，
∴0＜a＜1，b＞1，…（12分）
所以${a^2}+16b={a^2}+\frac{16}{a}$，
由（1）知${a^2}+\frac{16}{a}$在a∈（0，1）内递减，
所以${a^2}+\frac{16}{a}$＞17，
所以${a^2}+\frac{16}{a}∈（17，+∞）$…（16分）

点评 本题考查的知识点是函数的单调性，对勾函数的图象和性质，转化思想，难度中档．