Question

19．下列函数中，对于任意x∈R，同时满足条件f（-x）+f（x）=0和$f（\frac{π}{2}-x）=f（x）$的函数是（　　）

• A． f（x）=sinx
• B． f（x）=cosx
• C． f（x）=sinxcosx
• D． f（x）=cos²x-sin²x

Answer 1

分析 根据题意，要求函数满足条件，则该函数必须是奇函数且周期为π，据此由三角函数的性质依次分析选项四个函数的奇偶性与周期性即可得答案．

解答 解：根据题意，要求函数满足条件f（-x）+f（x）=0和$f（\frac{π}{2}-x）=f（x）$则该函数必须是奇函数且周期为π，
据此依次分析选项可得：
对于A、f（x）=sinx是奇函数且周期为2π，不符合题意；
对于B、f（x）=cosx是偶函数且周期为2π，不符合题意；
对于C、f（x）=sinxcosx=$\frac{1}{2}$sin2x是奇函数且周期为π，符合题意；
对于D、f（x）=ccos²x-sin²x=cos2x是偶函数且周期为π，不符合题意；
故选：C．

点评 本题考查三角函数的性质，关键是分析出函数的周期与奇偶性．