Question

4．在平面直角坐标系中，若不等式组$\left\{{\begin{array}{l}{x+y-1≥0}\\{x-1≤0}\\{ax-y+1≥0}\end{array}}$（a为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则z=（x+1）²+（y+1）²的最小值为$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 由题意分a＜0、a≥0画出图形，可知当a＜0时，不等式组所表示的平面区域是一个无限的角形区域，面积不可能为2；当a≥0时，由z=（x+1）²+（y+1）²的几何意义，即可行域内的动点与定点（-1，-1）的距离的平方得答案．

解答 解：当a＜0时，不等式组所表示的平面区域，如图甲中的M，一个无限的角形区域，面积不可能为2，故只能a≥0；
此时不等式组所表示的平面区域如图乙中的N，区域为三角形区域，若这个三角形的面积为2，则AB=4，即点B的坐标为（1，4），代入y=ax+1，得a=3，
z=（x+1）²+（y+1）²的最小值即平面区域N中的点到（-1，-1）距离的平方的最小值，
由点到直线的距离公式可得：（-1，-1）到直线x+y-1=0的距离d=$\frac{|-1×1-1×1-1|}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
∴${z_{min}}=\frac{9}{2}$．

故答案为：$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查简单的线性规划，考查分类讨论、数形结合等解题思想方法，是中档题．