题目内容
10．己知三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱锥的体积为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．BC=4，BD=$\sqrt{3}$，∠CBD=90°，则球O的表面积为（ ）| A． | 11π | B． | 20π | C． | 23π | D． | 35π |
分析 先利用体积，求出A到平面BCD的距离，可得O到平面BCD的距离，再利用勾股定理，求出球的半径，即可求出球O的表面积．
解答 解：由题意，设A到平面BCD的距离为h，则
∵该三棱锥的体积为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．BC=4，BD=$\sqrt{3}$，∠CBD=90°，
∴$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×4×$\sqrt{3}$h=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴h=2，
∴O到平面BCD的距离为1，
∵△BCD外接圆的直径BD=$\sqrt{19}$，
∴OB=$\sqrt{1+\frac{19}{4}}$=$\frac{\sqrt{23}}{2}$，
∴球O的表面积为4π×$\frac{23}{4}$=23π．
故选：C．
点评 本题考查球O的表面积，考查学生的计算能力，是中档题，确定球的半径是正确解题的关键．
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