Question

17．已知函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{ax+1-4a，}&{x＜1}\\{{x^2}-3ax，}&{x≥1}\end{array}}\right.$，若存在x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，使f（x₁）=f（x₂）成立，则实数a的取值范围是（$\frac{2}{3}$，+∞）∪（-∞，0]．

Answer 1

分析 由题意可得，在定义域内，函数f（x）不是单调的，考虑x≥1时，讨论函数的单调性，即可求得结论．

解答 解：依题意，在定义域内，函数f（x）不是单调函数，分情况讨论：
①当x≥1时，若f（x）=x² -3ax 不是单调的，它的对称轴为x=$\frac{3}{2}$a，则有$\frac{3}{2}$a＞1，
解得a＞$\frac{2}{3}$；
②当x≥1时，若f（x）=x² -3ax 是单调的，则f（x）单调递增，此时$\frac{3}{2}$a≤1，即a≤$\frac{2}{3}$．
当x＜1时，由题意可得f（x）=ax+1-4a应该不单调递增，故有a≤0．
综合得：a的取值范围是（$\frac{2}{3}$，+∞）∪（-∞，0]．
故答案为：（$\frac{2}{3}$，+∞）∪（-∞，0]．

点评 本题考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．