Question

2．已知函数f（x）=2sinωx（ω＞0）的图象中相邻两条对称轴之间的距离为2π，将f（x）的图象向右平移φ（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）个单位后得到函数g（x）的图象，g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值为1．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若C是函数g（x）的最小正零点，且c=4，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据y=f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为2π，确定函数的周期，即可求ω的值，利用三角函数的平移关系，结合正弦函数的单调性可求φ，进而求出g（x）的表达式．
（2）由题意可得2sin$\frac{1}{2}$（C-$\frac{π}{6}$）=0，结合范围C∈（0，π），可得C=$\frac{π}{6}$，由余弦定理，基本不等式可求ab≤$\frac{16}{2-\sqrt{3}}$，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（1）若y=f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为2π，
则函数的周期T=2×2π=4π，
即$\frac{2π}{ω}$=4π，解得ω=$\frac{1}{2}$；
∴函数f（x）=2sin$\frac{1}{2}$x，
将y=f（x）的图象向右平移φ个单位得到g（x）=2sin$\frac{1}{2}$（x-φ），
∵g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值为1．
又∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，可得：g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上单调递增，
∴2sin$\frac{1}{2}$（$\frac{π}{2}$-φ）=1，解得：$\frac{1}{2}$（$\frac{π}{2}$-φ）=$\frac{π}{6}$，解得：φ=$\frac{π}{6}$．
∴g（x）的解析式为：g（x）=2sin$\frac{1}{2}$（x-$\frac{π}{6}$）．
（2）∵C是函数g（x）的最小正零点，
∴2sin$\frac{1}{2}$（C-$\frac{π}{6}$）=0，
∵C∈（0，π），可得：$\frac{1}{2}$（C-$\frac{π}{6}$）∈（-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}$），
∴$\frac{1}{2}$（C-$\frac{π}{6}$）=0，可得：C=$\frac{π}{6}$，
又∵c=4，
∴由余弦定理可得：16=a²+b²-$\sqrt{3}$ab≥（2-$\sqrt{3}$）ab，解得：ab≤$\frac{16}{2-\sqrt{3}}$，（当且仅当a=b时等号成立）
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$absinC≤$\frac{4}{2-\sqrt{3}}$=8+4$\sqrt{3}$，（当且仅当a=b时等号成立）
故△ABC的面积的最大值为8+4$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查三角函数的平移关系，正弦函数的单调性，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式的应用，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键，考查了转化思想，属于中档题．