Question

函数f（x）=cos2x+4asinx，x∈[

π

6

，

7π

6

]的最小值为g（a），求g（a）的表达式．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：运用二倍角的余弦公式，配方化简f（x）的表达式，再令令t=sinx，由x的范围，求出t的范围，再由二次函数的对称轴和区间的关系，即可得到最小值．

解答： 解：f（x）=cos2x+4asinx
=1-2sin²x+4asinx=-2（sinx-a）²+1+2a²，
令t=sinx，由于x∈[

π

6

，

7π

6

]，则t∈[-

1

2

，1]，
则h（t）=-2（t-a）²+1+2a²，
对称轴t=a，
当a≤-

1

2

时，函数h（t）在t∈[-

1

2

，1]上递减，则g（a）=1-2+4a=4a-1；
当-

1

2

＜a≤

1

4

，则h（-

1

2

）≥h（1），则g（a）=h（1）=4a-1，
当

1

4

＜a＜1，则h（-

1

2

）＜h（1），则g（a）=h（-

1

2

）=

1

2

-2a，
当a≥1时，函数h（t）在t∈[-

1

2

，1]上递增，则g（a）=h（-

1

2

）=

1

2

-2a．
则g（a）=

4a-1，a≤ 1 4 1 2 -2a，a＞ 1 4

．

点评：本题考查三角函数的最值，考查二倍角公式的运用，及正弦函数的值域和单调性，考查分类讨论的思想方法，以及二次函数在闭区间上的最值问题，属于中档题和易错题．