Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点P（

2

3

，

2 6

3

）．F₁，F₂是左右两个焦点，过F₁的直线l交椭圆于A，B两点，若△ABF₂的面积为

24

13

．
（1）求椭圆的方程；
（2）求直线l的方程．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意易得a²和b²的方程组，解方程组可得；
（2）当直线l无斜率时，不满足题意；当直线l斜率存在时，设其方程为y=k（x+1），联立方程由弦长公式易得k的方程，解方程可得．

解答： 解：（1）由焦距为2可知c=1，∴a²-b²=1，①
由椭圆过点P（

2

3

，

2 6

3

）可得

4

9a2

+

24

9b2

=1，②
联立①②解得a²=4，b²=3，
∴椭圆C的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1
（2）由（1）知F₁（-1，0），F₂（1，0），
当直线l无斜率时，A（-1，-

3

2

），B（-1，

3

2

），|AB|=3，
直线l到F₂（1，0）的距离为2，此时△ABF₂的面积为

1

2

×3×2=3，不满足题意；
当直线l斜率存在时，设其方程为y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
和椭圆方程联立消y并整理可得：（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
显然有△＞0，由韦达定理可得x₁+x₂=

-8k2

3+4k2

，x₁•x₂=

4k2-12

3+4k2

，
∴|AB|=

(1+k2)[( -8k2 3+4k2 )2-4• 4k2-12 3+4k2 ]

=

12(k2+1)

3+4k2

，
直线l到F₂（1，0）的距离为

|2k|

k2+(-1)2

=

2|k|

k2+1

，
∴△ABF₂的面积S=

1

2

×

12(k2+1)

3+4k2

×

2|k|

k2+1

=

24

13

，
整理可得105k⁴+73k²-36=0
解得k=±

3

3

，故l的方程为：x±

3

y+1=0

点评：本题考查椭圆的标准方程，涉及弦长公式和三角形的面积以及分类讨论的思想，属中档题．