Question

已知函数f（x）=Asin（wx+φ），x∈R（其中A＞0，w＞0，0＜φ＜

π

2

）的图象与x轴的交点中，相邻2个交点之间的距离为

π

2

，且图象上一个最低点为M（

2π

3

，-2）．求：
（1）函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[

π

3

，

π

2

），求f（x）的值域．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的值域．

解答： 解：（1）根据与x轴的相邻2个交点之间的距离为

π

2

，可得

T

2

=

π

w

=

π

2

，求得w=2．
再根据图象上一个最低点为M（

2π

3

，-2），可得A=2，sin（2×

2π

3

+φ）=-1，∴2×

2π

3

+φ=2kπ-

π

2

，k∈z，
即φ=2kπ-

11π

6

．
再由0＜φ＜

π

2

，∴φ=

π

6

，∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）．
（2）当x∈[

π

3

，

π

2

），2x+

π

6

∈[

5π

6

，

7π

6

），故当2x+

π

6

=

5π

6

 时，函数取得最大值为1，当2x+

π

6

=

7π

6

 时，函数取得最小值为-1，
故函数的值域为[-1，1]．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．