Question

已知向量

a

=（sinx，

3

4

），

b

=（cosx，-1）．
（1）当

a

∥

b

时，求tan（x-

π

4

）的值；
（2）设函数f（x）=2（

a

+

b

）•

b

，当x∈[0，

π

2

]时，求f（x）的值域．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,平面向量共线（平行）的坐标表示

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）运用向量的关系的坐标表示和同角的商数关系及两角差的正切公式，计算即可得到；
（2）运用向量的数量积的坐标表示和二倍角公式及两角和的正弦公式，化简f（x），再由正弦函数的图象和性质，即可得到f（x）的值域．

解答： 解：（1）

a

∥

b

即有

3

4

cosx+sinx=0，即tanx=-

3

4

，
tan（x-

π

4

）=

tanx-1

1+tanx

=

- 3 4 -1

1- 3 4

=-7；
（2）f（x）=2（

a

+

b

）•

b

=2cosx（sinx+cosx）+

1

2

=sin2x+cos2x+

3

2

=

2

sin（2x+

π

4

）+

3

2

，
当x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，
即-

2

2

≤sin(2x+

π

4

)≤1，
则

1

2

≤f（x）≤

3

2

+

2

，
则f（x）的值域为[

1

2

，

3

2

+

2

]．

点评：本题考查平面向量的共线和数量积的坐标表示，考查三角函数的化简和求值，考查正弦函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题．