Question

已知函数f（x）=cosx•sin（x+

π

3

）-

3

cos²x+

3

4

，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在[-

π

4

，

π

4

]上的最小值和最大值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）化简得f（x）=

1

2

sin(2x-

π

3

)，从而可求f（x）的最小正周期；
（2）由-

π

4

≤x≤

π

4

⇒-

5π

6

≤2x-

π

3

≤

π

6

⇒-1≤sin(2x-

π

3

)≤

1

2

，所以可求f（x）在[-

π

4

，

π

4

]上的最小值和最大值．

解答： 解：（1）∵f(x)=cosx•sin(x+

π

3

)-

3

cos2x+

3

4

=cosx(

1

2

sinx+

3

2

cosx)-

3

cos2x+

3

4

=

1

2

sinxcosx-

3

2

cos2x+

3

4

=

1

2

sinxcosx-

3

4

(1+cos2x)+

3

4

=

1

4

sin2x-

3

4

cos2x
=

1

2

sin(2x-

π

3

)；
∴f（x）的最小正周期为

2π

2

=π．
（2）-

π

4

≤x≤

π

4

⇒-

5π

6

≤2x-

π

3

≤

π

6

⇒-1≤sin(2x-

π

3

)≤

1

2

当2x-

π

3

=-

π

2

，即x=-

π

12

时，f（x）取最小值-

1

2

；
当2x-

π

3

=

π

6

，即有x=

π

4

时，f（x）取最大值

1

4

．

点评：本题主要考察三角函数中的恒等变换应用以及三角函数的周期性及其求法，属于中档题．