Question

定义“正对数”：ln⁺x=

0 0＜x＜1 lnx x≥1

，现有四个命题：
①若a＞0，b＞0，则ln⁺（a^b）=bln⁺a
②若a＞0，b＞0，则ln⁺（ab）=ln⁺a+ln⁺b
③若a＞0，b＞0，则ln+(

a

b

)≥ln+a-ln+b
④若a＞0，b＞0，则ln⁺（a+b）≤ln⁺a+ln⁺b+ln2
其中的真命题有：

 

．（写出所有真命题的编号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：对于①，由“正对数”的定义分别对a，b从0＜a＜1，b＞0；a≥1，b＞0两种情况进行推理；
对于②，通过举反例说明错误；对于③④，分别从四种情况，即当0＜a＜1，b＞0时；当a≥1，0＜b＜1时；当0＜a＜1，b≥1时；当a≥1，b≥1时进行推理．

解答： 解：对于①，当0＜a＜1，b＞0时，有0＜a^b＜1，从而ln⁺（a^b）=0，bln⁺a=b×0=0，
∴ln⁺（a^b）=bln⁺a；
当a≥1，b＞0时，有a^b＞1，从而ln⁺（a^b）=lna^b=blna，bln⁺a=blna，
∴ln⁺（a^b）=bln⁺a；
∴当a＞0，b＞0时，ln⁺（a^b）=bln⁺a，命题①正确；
对于②，当a=

1

4

，b=2时，满足a＞0，b＞0，而ln⁺（ab）=ln⁺

1

2

=0，ln⁺a+ln⁺b=ln⁺

1

2

+ln⁺2=ln2，
∴ln⁺（ab）≠ln⁺a+ln⁺b，命题②错误；
对于③，由“正对数”的定义知，ln⁺x≥0且ln⁺x≥lnx．
当0＜a＜1，0＜b＜1时，ln⁺a-ln⁺b=0-0=0，而ln⁺(

a

b

)≥0，
∴ln+(

a

b

)≥ln+a-ln+b．
当a≥1，0＜b＜1时，有

a

b

＞1，ln⁺a-ln⁺b=ln⁺a-0=ln⁺a，而ln⁺(

a

b

)=ln(

a

b

)=lna-lnb，
∵lnb＜0，
∴ln+(

a

b

)≥ln+a-ln+b．
当0＜a＜1，b≥1时，有0＜

a

b

＜1，ln⁺a-ln⁺b=0-ln⁺b=-ln⁺b，而ln⁺(

a

b

)=0，
∴ln+(

a

b

)≥ln+a-ln+b．
当a≥1，b≥1时，ln⁺a-ln⁺b=lna-lnb=ln(

a

b

)，则ln+(

a

b

)≥ln+a-ln+b．
∴当a＞0，b＞0时，ln+(

a

b

)≥ln+a-ln+b，命题③正确；
对于④，由“正对数”的定义知，当x₁≤x₂时，有ln+x1≤ln+x2，
当0＜a＜1，0＜b＜1时，有0＜a+b＜2，从而ln⁺（a+b）＜ln⁺2=ln2，ln⁺a+ln⁺b+ln2=0+0+ln2=ln2，
∴ln⁺（a+b）≤ln⁺a+ln⁺b+ln2．
当a≥1，0＜b＜1时，有a+b＞1，从而ln⁺（a+b）=ln（a+b）＜ln（a+a）=ln2a，
ln⁺a+ln⁺b+ln2=lna+0+ln2=ln2a，
∴ln⁺（a+b）≤ln⁺a+ln⁺b+ln2．
当0＜a＜1，b≥1时，有a+b＞1，从而ln⁺（a+b）=ln（a+b）＜ln（a+b）=ln2b，
ln⁺a+ln⁺b+ln2=0+lnb+ln2=ln2b，
∴ln⁺（a+b）≤ln⁺a+ln⁺b+ln2．
当a≥1，b≥1时，ln⁺（a+b）=ln（a+b），ln⁺a+ln⁺b+ln2=lna+lnb+ln2=ln（2ab），
∵2ab-（a+b）=ab-a+ab-b=a（b-1）+b（a-1）≥0，
∴2ab≥a+b，从而ln⁺（a+b）≤ln⁺a+ln⁺b+ln2．
命题④正确．
∴正确的命题是①③④．
故答案为：①③④．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了新定义，解答的关键是对“正对数”定义的理解与应用，考查了学生的运算能力和逻辑推理能力，是压轴题．