Question

19．已知R上的奇函数f（x）满足f（x-2）=-f（x），且x∈[0，1]时，f（x）=2^x+x-1．若方程f（x）=1在区间[-6，4]上有m个不同的根x₁，x₂，…，x_m，则$\sum_{i=1}^{m}$x_i=（　　）

• A． -6
• B． 6
• C． 0
• D． -4

Answer 1

分析 根据函数的条件，判断函数的周期，利用函数的奇偶性和周期性即可得到结论．

解答 解：∵f（x-2）=-f（x）
∴f（x+2）=-f（x）
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x）
即 f（x）=f（x+4）
∴f（x）是一个周期函数，周期为4．
且f（x-2）=-f（x）=f（-x），则函数的对称轴为x=1，
∵x∈[0，1]时，f（x）=2^x+x-1，
∴在[0，2]上满足方程f（x）=1的两根的和为2，
在[-4，-2]上满足方程f（x）=1的两根的和为-6，
∴$\sum_{i=1}^{m}$x_i=2-6=-4．
故选：D．

点评 本题主要考查方程根的应用，根据条件结合函数的周期性和奇偶性是解决本题的关键．