Question

9．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin2ωx-2sin²ωx的最小正周期为3π．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，若f（C）=1，AB=2，2sin²B=cosB+cos（A-C），求BC的长．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换得f（x）=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）-1，根据周期公式即可解得ω，可求当解析式；（2）根据（1）的表达式，解关于C的方程f（C）=1，结合C为三角形的内角算出C=$\frac{π}{2}$，因此将等式2sin²B=cosB+cos（A-C）化成关于A的方程，整理得sin²A+sinA-1=0，解之即得sinA的值，利用正弦定理即可得解BC的长．

解答 （本题满分为14分）
解：∵f（x）=$\sqrt{3}$sin2ωx-2sin²ωx=$\sqrt{3}$sin2ωx-（1-cos2ωx）=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）-1，…（4分）
∴依题意函数f（x）的最小正周期为3π，即$\frac{2π}{2ω}$=3π，解得ω=$\frac{1}{3}$，
所以f（x）=2sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$）-1．…（6分）
（2）∵f（C）=2sin（$\frac{2C}{3}$+$\frac{π}{6}$）-1=1，
∴sin（$\frac{2C}{3}$+$\frac{π}{6}$）=1，
∵C∈（0，π），可得$\frac{2C}{3}$+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴$\frac{2C}{3}$+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，可得C=$\frac{π}{2}$．…（8分）
∵在Rt△ABC中，A+B=$\frac{π}{2}$，有2sin²B=cosB+cos（A-C），
∴2cos²A-sinA-sinA=0，即sin²A+sinA-1=0，解之得sinA=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$．…（11分）
∵0＜sinA＜1，
∴sinA=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．…（12分）
∵AB=2，
∴由正弦定理可得：BC=$\frac{ABsinA}{sinC}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{5}-1}{2}}{1}$=$\sqrt{5}$-1．…（14分）

点评 本题给出函数y=Asin（ωx+φ）+k的周期，求函数的表达式并依此求三角形ABC的角A的正弦值．着重考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质和同角三角函数的基本关系等知识点，属于中档题．