Question

8．数列{a_n}满足a₁=1，$\sqrt{\frac{1}{{a}_{n}^{2}}+2}$=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$（n∈N⁺），记b_n=a${\;}_{n}^{2}$，则数列{b_nb_n+1}的前n项和S_n=$\frac{n}{2n+1}$．

Answer 1

分析 将$\sqrt{\frac{1}{{a}_{n}^{2}}+2}$=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$两边平方移项得$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}$-$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$=2，故而数列{$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$}为等差数列，从而求出a_n²，得出b_nb_n+1，使用列项法求出S_n．

解答 解：∵$\sqrt{\frac{1}{{a}_{n}^{2}}+2}$=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，∴$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}}$-$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$=2，且$\frac{1}{{{a}_{1}}^{2}}$=1，
∴数列{$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$}是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$=2n-1，∴a_n²=$\frac{1}{2n-1}$，∴b_n=$\frac{1}{2n-1}$，
∴b_nb_n+1=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．
故答案为：$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了等差数列的判断与通项公式，列项法求和，属于中档题．