题目内容
7．已知数列{an}满足an+1=an-2，且a2=1．（1）求{an}的通项an和前n项和Sn；
（2）设${{c}_{n}}=\frac{5-{{a}_{n}}}{2}$，bn=${2}^{{c}_{n}}$，证明数列{bn}是等比数列．
分析 （1）数列{an}满足an+1=an-2，且a2=1．可得数列{an}是等差数列，公差为-2，a1=3．利用通项公式及其求和公式即可得出．
（2）${{c}_{n}}=\frac{5-{{a}_{n}}}{2}$=n，bn=${2}^{{c}_{n}}$=2n，只要证明$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=非0常数即可．
解答 （1）解：数列{an}满足an+1=an-2，且a2=1．
∴数列{an}是等差数列，公差为-2，a1=3．
∴an=3+（n-1）×（-2）=-2n+5．
Sn=$\frac{n（3-2n+5）}{2}$=-n2+4n．
（2）证明：${{c}_{n}}=\frac{5-{{a}_{n}}}{2}$=n，bn=${2}^{{c}_{n}}$=2n，
$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{{2}^{n+1}}{{2}^{n}}$=2．
∴数列{bn}是等比数列．
点评 本题考查了等差数列与等比数列的定义通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
15．下列说法正确的是（ ）
| A． | 命题p：“?x∈R，sinx+cosx≤$\sqrt{2}$”，则￢p是真命题 | |
| B． | “x=-1”是“x2+3x+2=0”的必要不充分条件 | |
| C． | 命题“?x∈R，使得x2+2x+3＜0”的否定是：“?x∈R，x2+2x+3＞0” | |
| D． | “a＞1”是“f（x）=logax（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数”的充要条件 |