Question

19．已知函数f（x）=x²-2cosx，对于$[-\frac{2π}{3}，\;\frac{2π}{3}]$上的任意x₁，x₂有如下条件：
①x₁＞x₂；       ②${x_1}^2＞{x_2}^2$；   ③x₁＞|x₂|；   ④|x₁|＞x₂；
其中能使f（x₁）＞f（x₂）恒成立的条件是②③ （填写序号）

Answer 1

分析 推导出f（x）是偶函数，f（x）在（0，$\frac{2π}{3}$]上是增函数，从而f（x）图象类似于开口向上的抛物线，由此能求出结果．

解答 解：∵f（-x）=（-x）²-2cos（-x）=x²-2cosx=f（x），
∴f（x）是偶函数，
∴f（x）图象关于y轴对称．
∵f′（x）=2x+2sinx＞0，x∈（0，$\frac{2π}{3}$]，
∴f（x）在（0，$\frac{2π}{3}$]上是增函数．
∴f（x）图象类似于开口向上的抛物线，
∴若|x₁|＞|x₂|，则f（x₁）＞f（x₂），
∵x₁＞x₂成立，|x₁|＞|x₂|不一定成立，∴①是错误的．
∵x₁²＞x₂²成立，|x₁|＞|x₂|一定成立，∴②是正确的．
∵x₁＞|x₂|成立，|x₁|＞|x₂|一定成立，∴③是正确的．
故答案为：②③．

点评 本题考查满足题意的条件的选择，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质、导数性质的合理运用．