题目内容

4．已知函数f（x）在实数集R上可导，其导函数为f′（x），若x[f（x）-f′（x）]＞0，f（0）=2，函数g（x）=f（x）-kex（e为自然对数的底）存在零点，则　　）
A．实数k有最大值2B．实数k有最小值2C．实数k有最大值$\frac{2}{e}$D．实数k有最小值$\frac{2}{e}$

分析 问题转化为求k=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$的最大值，根据函数的单调性求出即可．

解答 解：令g（x）=0，得：k=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
∵${[\frac{f（x）}{{e}^{x}}]}^{′}$=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
∴x＞0时，${[\frac{f（x）}{{e}^{x}}]}^{′}$＜0，函数y=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$递减，
x＜0时，${[\frac{f（x）}{{e}^{x}}]}^{′}$＞0，函数y=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$递增，
∴函数y=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$有最大值是$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$=2，
即k的最大值是2，
故选：A．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．

练习册系列答案
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14．函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）的性质描述正确的是（　　）
A．最大值为2B．周期为π的奇函数
C．关于点$（\frac{π}{8}，0）$中心对称D．在$[\frac{3π}{8}，\frac{7π}{8}]$上单调递减
15．已知函数f（x）=a•4x+2x+1，其中a∈R．
（1）设函数g（x）=lg$\frac{f（x）}{2}$，若当x∈（-∞，1]时，g（x）有意义，求a的取值范围；
（2）是否存在是实数m，使得关于x的方程f（x）=m对于任意非正实数a，均有实数根？若存在，求m；若不存在，说明理由．
12．以（1，0）为圆心的圆与直线y=x+m相切于点（0，m），则圆的方程是（　　）
A．（x+1）2+y2=1B．（x-1）2+y2=1C．（x+1）2+y2=2D．（x-1）2+y2=2
19．已知函数f（x）=x2-2cosx，对于$[-\frac{2π}{3}，\;\frac{2π}{3}]$上的任意x1，x2有如下条件：
①x1＞x2；       ②${x_1}^2＞{x_2}^2$；   ③x1＞|x2|；   ④|x1|＞x2；
其中能使f（x1）＞f（x2）恒成立的条件是②③ （填写序号）
9．定义在实数集R上的函数y=f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=-4x2+8x-3，求f（x）在R上的表达式．
16．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足不等式f（x）＜f（1）的x的取值范围是（　　）
A．（-1，1）B．（-1，0）C．（0，1）D．[-1，1）
13．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），右焦点F2（$\sqrt{3}$，0），PF2⊥x轴交双曲线于P点，若P点纵坐标为2，则双曲线离心率e=（　　）
A．$\sqrt{2}$B．$\sqrt{3}$C．2D．3
14．向量$\overrightarrow{m}$=（2sinx，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{n}$=（2cos2$\frac{x}{2}$-1，cos2x+1），函数f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$
（1）求函数f（x）的对称轴和对称中心；
（2）△ABC中内角A、B、C的对边分别为a，b，c，角B为锐角，若f（B）=0，b=2，求△ABC周长的最大值．

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