Question

已知函数f（x）对于一切x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）且f（x）在R上为减函数，当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2
（1）求f（0），f（2）的值．    
（2）判定函数的奇偶性．
（3）若f（x²-2x+3）＜f（x²+x），求x的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,奇偶性与单调性的综合

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意，f（0）=f（0）+f（0），f（2）=f（1）+f（1）=-4；从而求f（0），f（2）的值；
（2）令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x），从而得到f（x）+f（-x）=0，从而可得函数的奇偶性；
（3）由f（x）在R上为减函数可得f（x²-2x+3）＜f（x²+x）化为x²-2x+3＜x²+x，从而求x的取值范围．

解答： 解：（1）∵对于一切x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（0）=f（0）+f（0），
∴f（0）=0，
f（2）=f（1）+f（1）=-4；
（2）令y=-x，
则f（0）=f（x）+f（-x），
故f（x）+f（-x）=0，
故f（x）是奇函数；
（3）∵f（x）在R上为减函数，
∴f（x²-2x+3）＜f（x²+x）可化为x²-2x+3＜x²+x，
∴x＜-1．

点评：本题考查了抽象函数的应用，属于中档题．