题目内容
已知等差数列{an}中，a1=-2，公差d=3；数列{bn}中，Sn为其前n项和，满足：2nSn+1=2n（n∈N+）
（Ⅰ）记An=
，求数列An的前n项和S；
（Ⅱ）求证：数列{bn}是等比数列；
（Ⅲ）设数列{cn}满足cn=anbn，Tn为数列{cn}的前n项积，若数列{xn}满足x1=c2-c1，且xn=
(n∈N+，n≥2)，求数列{xn}的最大值．
（Ⅰ）记An=
| 1 |
| anan+1 |
（Ⅱ）求证：数列{bn}是等比数列；
（Ⅲ）设数列{cn}满足cn=anbn，Tn为数列{cn}的前n项积，若数列{xn}满足x1=c2-c1，且xn=
Tn+1Tn-1-
| ||
| TnTn-1 |
考点：数列的求和,数列的函数特性,等比关系的确定
专题：等差数列与等比数列
分析：（I）利用等差数列的通项公式可得an=3n-5．利用裂项可得An=
(
-
)，利用“裂项求和”可得数列An的前n项和S．
（II）由2nSn+1=2n（n∈N+），可得Sn=1-
．当n=1时，b1=S1=
；当n≥2时，bn=Sn-Sn-1．利用等比数列的通项公式即可证明．
（III）数列{cn}满足cn=anbn=
．数列{xn}满足x1=c2-c1=
．当n≥2时，xn=
-
=cn+1-cn=
．当n≤3时，数列{xn}单调递减；当n≥4时，数列{xn}单调递增，但是xn＜0，即可得出．
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3n-5 |
| 1 |
| 3n-2 |
（II）由2nSn+1=2n（n∈N+），可得Sn=1-
| 1 |
| 2n |
| 1 |
| 2 |
（III）数列{cn}满足cn=anbn=
| 3n-5 |
| 2n |
| 5 |
| 4 |
| Tn+1 |
| Tn |
| Tn |
| Tn-1 |
| 8-3n |
| 2n+1 |
解答：
（I）解：∵等差数列{an}中，a1=-2，公差d=3，
∴an=-2+3（n-1）=3n-5．
∴An=
=
=
(
-
)，
∴数列An的前n项和S=
[(-
-1)+(1-
)+(
-
)+…+(
-
)]
=
(-
-
)
=-
．
（II）证明：由2nSn+1=2n（n∈N+），可得Sn=1-
．
当n=1时，a1=S1=
；
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=(1-
)-(1-
)=
．
当n=1时也成立．
∴bn=
=
×(
)n-1．
∴数列{bn}是等比数列，首项为
，公比为
．
（III）数列{cn}满足cn=anbn=
．
数列{xn}满足x1=c2-c1=
-
=
．
当n≥2时，xn=
=
-
=cn+1-cn=
-
=
．
当n=1时也成立．
当n≤3时，数列{xn}单调递减；当n≥4时，数列{xn}单调递增，但是xn＜0．
∴数列{xn}的最大值是x1=
．
∴an=-2+3（n-1）=3n-5．
∴An=
| 1 |
| anan+1 |
| 1 |
| (3n-5)(3n-2) |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3n-5 |
| 1 |
| 3n-2 |
∴数列An的前n项和S=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 7 |
| 1 |
| 3n-5 |
| 1 |
| 3n-2 |
=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3n-2 |
=-
| n |
| 6n-4 |
（II）证明：由2nSn+1=2n（n∈N+），可得Sn=1-
| 1 |
| 2n |
当n=1时，a1=S1=
| 1 |
| 2 |
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=(1-
| 1 |
| 2n |
| 1 |
| 2n-1 |
| 1 |
| 2n |
当n=1时也成立．
∴bn=
| 1 |
| 2n |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴数列{bn}是等比数列，首项为
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（III）数列{cn}满足cn=anbn=
| 3n-5 |
| 2n |
数列{xn}满足x1=c2-c1=
| 1 |
| 22 |
| -2 |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
当n≥2时，xn=
Tn+1Tn-1-
| ||
| TnTn-1 |
| Tn+1 |
| Tn |
| Tn |
| Tn-1 |
| 3n-2 |
| 2n+1 |
| 3n-5 |
| 2n |
| 8-3n |
| 2n+1 |
当n=1时也成立．
当n≤3时，数列{xn}单调递减；当n≥4时，数列{xn}单调递增，但是xn＜0．
∴数列{xn}的最大值是x1=
| 5 |
| 4 |
点评：本题考查了递推式的意义、等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
练习册系列答案
名师金手指领衔课时系列答案
相关题目
对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g（x）=
x3-
x2+3x-
，则g（
）+g（
）+…+g（
）（ ）
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 12 |
| 1 |
| 2014 |
| 2 |
| 2014 |
| 2013 |
| 2014 |
| A、2011 | B、2012 |
| C、2013 | D、2014 |
若x，y∈R+，x+y=1，则x•y有（ ）
A、最小值
| ||
B、最大值
| ||
C、最小值
| ||
D、最大值
|