Question

18．已知{a_n}为等差数列，且a₁+a₃=8，a₂+a₄=12．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）设{a_n}为公差为d的等差数列，由条件运用等差数列的通项公式可得方程，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项；
（2）求出${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{2n•2（n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），由数列的求和方法：裂项相消求和，计算即可得到所求和．

解答 解：（1）设{a_n}为公差为d的等差数列，
由a₁+a₃=8，a₂+a₄=12，
可得2a₁+2d=8，2a₁+4d=12，
解得a₁=d=2，
即有a_n=a₁+（n-1）d=2n，n∈N*；
（2）${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{2n•2（n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
数列{b_n}的前n项和为$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{n}{4（n+1）}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式的运用，以及数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于基础题．