Question

已知函数f（x）=2sin（π-x）•cosx+sin²x-cos²x，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）在[0，π]上的单调区间．
（Ⅱ）若函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位后，得到的图象关于原点对称，求实数m的最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用诱导公式、二倍角公式、两角差的正弦函数公式化简解析式，
（Ⅰ）根据正弦函数的单调减区间得：2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

，求出x的范围，结合定义域求出f（x）在[0，π]上的单调区间；
（Ⅱ）根据平移法则求出平移后的函数g（x）的解析式，再由图象关于原点对称得到g（0）=0，列出m的方程并化简，根据m的范围求出m的最小值．

解答： 解：由题意得，f（x）=2sin（π-x）•cosx+sin²x-cos²x
=sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)，
（Ⅰ）令2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

得，
kπ+

3π

8

≤x≤kπ+

7π

8

（k∈Z），
又x∈[0，π]，所以x∈[

3π

8

，

7π

8

]，
则函数f（x）在[0，π]上的单调区间是[

3π

8

，

7π

8

]；
（Ⅱ）将函数f（x）=

2

sin(2x-

π

4

)的图象向右平移m（m＞0）个单位后，
得到函数g（x）=

2

sin[2(x-m)-

π

4

]=

2

sin(2x-2m-

π

4

)的图象，
又其函数图象关于原点对称，则g（0）=0，
即-

π

4

-2m=kπ(k∈Z)，解得m=-

kπ

2

-

π

8

（k∈Z），
因为m＞0，令k=-1得m=

3π

8

，
所以实数m的最小值是

3π

8

．

点评：本题考查了诱导公式、二倍角公式、两角差的正弦函数公式，以及正弦函数的性质，三角函数的图象平移变换，属于中档题．