Question

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且4sin²

B+C

2

-cos2A=

7

2

．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=

3

且a≤b，求b-

1

2

c的取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）把已知等式利用二倍角公式化简整理可求得cosA的值，进而求得A．
（Ⅱ）利用正弦定理分别表示出b和c，进而利用角的正弦表示出b-

1

2

c进而根据三角函数的性质和B的范围求得答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵A+B+C=π，
∴sin

B+C

2

=sin

π-A

2

=cos

A

2

，
∵4sin²

B+C

2

-cos2A=4cos²

A

2

-cos2A=2（1+cosA）-（2cos²A-1）=

7

2

∴整理得（2cosA-1）²=0解得cosA=

1

2

，
∴A=

π

3

（Ⅱ）∵

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2，
∴b=2sinB，c=2sinC
∴b-

1

2

c=2sinB-sinC=2sinB-sin(

2π

3

-B)=

3

2

sinB-

3

2

cosB=

3

sin(B-

π

6

)
∵a≤b，
∴

π

3

≤B＜

2

3

，
∴

π

6

≤B-

π

6

＜

π

2

∴b-

1

2

c=

3

sin(B-

π

6

)∈[

3

2

，

3

)

点评：本题主要考查了正弦定理的应用，三角函数的性质，二倍角公式等知识点．