题目内容

在△ABC中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，且bsinA=
3
acosB．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=
3
，求△ABC面积的最大值．
考点：正弦定理,余弦定理
专题：解三角形
分析：（Ⅰ）利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得tanB的值，进而求得B．
（Ⅱ）利用正弦定理求得a和sinA的关系式，代入面积公式整理求得关于A的表达式，利用A的范围确定三角形面积个最大值．
解答： 解：（Ⅰ）在△ABC中，∵bsinA=
3
acosB
∴由正弦定理得：sinBsinA=
3
sinAcosB
∵sinA＞0，
∴tanB=
3

∴B=
π
3

（Ⅱ）∵
a
sinA
=
b
sinB
，b=
3
，
∴a=
b
sinB
•sinA=
3
3
2
=2sinA，
∴S=
1
2
absinC=
3
sinAsinC
=
3
sinAsin（
2π
3
-A）
=
3
sinA（
3
2
cosA+
1
2
sinA）
=
3
2
sinAcosA+
3
2
sin2A
=
3
2
sin（2A-
π
6
）+
3
4

∵0＜A＜
2π
3
，-
π
6
＜2A-
π
6
＜
7π
6
，
∴sin(2A-
π
6
)max=1．
∴S△ABC的最大值为
3
3
4
．
点评：本题主要考查正、余弦定理及三角运算等基础知识，同时考查运算求解能力．
练习册系列答案
相关题目
已知函数y=f（x）对任意的x∈R满足2xf′（x）-2xf（x）ln2＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（　　）
A、2f（-2）＜f（-1）
B、2f（1）＞f（2）
C、4f（-2）＞f（0）
D、2f（0）＞f（1）
求证：函数f（x）=x3+x在R上是增函数．
已知f（x）=sin（-2x+
π
6
）+
3
2
，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间．
（2）函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？
已知函数f（x）=ax2+（1-2a）x-lnx（a∈R）．
（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调增区间；
（2）当a＜0时，求函数f（x）在区间[
1
2
，1]上的最小值；
（3）记函数y=f（x）图象为曲线C，设点A（x1，x2），B（x2，y2）是曲线C上不同的两点，点M为线段AB的中点，过点M作x轴的垂线交曲线C于点N．试问：曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB？并说明理由．
在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且4sin2
B+C
2
-cos2A=
7
2
．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=
3
且a≤b，求b-
1
2
c的取值范围．
在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且
a
cosA
=
b
2cosB
=
c
3cosC
．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积为3，求a的值．
在平面直角坐标系xOy中，点A（cosθ，
2
sinθ），B（sinθ，0），其中θ∈R．
（Ⅰ）当θ=
2π
3
，求向量
AB
的坐标；
（Ⅱ）当θ∈[0，
π
2
]时，求|
AB
|的最大值．
函数f（x）=-cos2x+cosx+1，x∈[0，
5π
4
]的值域为
 
．

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