Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M．
（1）求抛物线方程；
（2）过M作MN⊥FA，垂足为N，求直线MN的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）抛物线y²=2px的准线为x=-

p

2

，于是4+

p

2

=5，由此能求出抛物线方程．
（2）点A的坐标是（4，4），由题意得B（0，4），M（0，2），F（1，0），从而kAF=

4

3

，由MN⊥FA，刘kMN=-

3

4

，由此能求出直线MN的方程．

解答： 解：（1）抛物线y²=2px的准线为x=-

p

2

，
于是4+

p

2

=5，
∴p=2，
∴抛物线方程为y²=4x．
（2）点A的坐标是（4，4），
由题意得B（0，4），M（0，2），
又∵F（1，0），
∴kAF=

4

3

，由MN⊥FA，刘kMN=-

3

4

，
所以直线MN的方程为y-2=-

3

4

(x-0)
即3x+4y-8=0．

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．