Question

设函数f（x）=

1

2

mx2-2x+ln（x+1）（m∈R）．
（Ⅰ）判断x=1能否为函数f（x）的极值点，并说明理由；
（Ⅱ）若存在m∈[-4，-1），使得定义在[1，t]上的函数g（x）=f（x）-ln（x+1）+x³在x=1处取得最大值，求实数t的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由f′（1）=0，求得m的值，将m的值代入f（x）解析式中，求出函数f（x）的单调区间，看f（x）在x=1的两侧的单调性是否相反，如果相反则x=1是函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）由题意知，g（x）-g（1）≤0在[1，t]上恒成立，构造函数h(x)=x2+(1+

1

2

m)x+

1

2

m-1，根据m的范围求出t的取值范围，得出t的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）定义域为（-1，+∞），f′(x)=mx-2+

1

x+1

，令f'（1）=0，得m=

3

2

；
当m=

3

2

时，f′(x)=

(3x+2)(x-1)

2(x+1)

，当x∈(-1，-

2

3

)和（1，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈(-

2

3

，1)时f′（x）＜0，
于是f（x）在(-1，-

2

3

)单调递增，在(-

2

3

，1)单调递减，在（1，+∞）单调递增．
故当m=

3

2

时，x=1是f（x）的极小值点；
（Ⅱ）g(x)=f(x)-ln(x+1)+x3=x3+

1

2

mx2-2x．
由题意，当x∈[1，t]时，g（x）≤g（1）恒成立，
易得g(x)-g(1)=(x-1)[x2+(1+

1

2

m)x+

1

2

m-1]≤0，令h(x)=x2+(1+

1

2

m)x+

1

2

m-1，
∵h（x）必然在端点处取得最大值，即h（t）≤0
即t2+(1+

1

2

m)t+

1

2

m-1≤0，即

-t2-t+1

t+1

≥2m，
∵m∈[-4，-1），∴

-t2-t+1

t+1

≥-2，解得，1＜t≤

1+ 13

2

，
所以t的最大值为

1+ 13

2

．

点评：本题考查了利用导数求函数求函数的单调区间，极值，最值，构造函数，等价转化思想，属于中档题．