Question

17．已知△ABC中，sinA=sinC•cosB，△ABC的面积S为8．
（1）若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=4，求边AB的长；
（2）求|$\overrightarrow{AC}$+2$\overrightarrow{BC}$|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知把A代入B+C展开求得cosC=0，得到C=90°，再结合$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=4及，△ABC的面积S为8求得边AB的长；
（2）由|$\overrightarrow{AC}$+2$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{（\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{BC}）^{2}}$，展开后利用基本不等式求得最小值．

解答 解：（1）由sinA=sinC•cosB，得sin（B+C）=sinCcosB+cosCsinB=sinCcosB，
∴sinBcosC=0，
∵sinB≠0，∴cosC=0，则C=90°，
由$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=4，得$|\overrightarrow{AC}{|}^{2}=4$，∴AC=2，
又$\frac{1}{2}AC•BC=8$，得BC=8，∴AB=$\sqrt{{2}^{2}+{8}^{2}}=2\sqrt{17}$；
（2）|$\overrightarrow{AC}$+2$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{（\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{BC}）^{2}}=\sqrt{{\overrightarrow{AC}}^{2}+4{\overrightarrow{BC}}^{2}+4\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}}$
=$\sqrt{{\overrightarrow{AC}}^{2}+4{\overrightarrow{BC}}^{2}}≥8$．
当且仅当|$\overrightarrow{AC}$|=2|$\overrightarrow{BC}$|=4$\sqrt{2}$时，$|\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{BC}{|}_{min}=8$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查三角函数的化简求值，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．