Question

12．在ABC中，AB=c，BC=a，AC=b．且a，b是方程x²-3x+6=0的两恨（a＜b），cos（A+B）=$\frac{1}{2}$．
（1）求角C的度数
（2）求AB的长
（3）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由A+B=180-C及诱导公式可求C；
（2）利用韦达定理可得a+b=3，ab=6，进而利用余弦公式可求c；
（3）利用面积公式S=$\frac{1}{2}$absinC即可得解．

解答 解：（1）∵由cos（A+B）=$\frac{1}{2}$，得：cos（180°-C）=$\frac{1}{2}$，
∴cosC=-$\frac{1}{2}$，
又∵0°＜C＜180°，
∴C=120°；
（2）∵a，b是方程x²-3x+6=0的两根，
由韦达定理，得a+b=3，ab=6，
由余弦定理，得c²=a²+b²-2abcos120°=（a+b）²-ab=9-6=3，
∴c=$\sqrt{3}$；
（3）△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×6×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查了三角形面积公式、余弦定理等知识在解三角形中的应用，熟记相关公式是解题关键，属于基础题．