Question

15．函数y=cos²x+sinx（-$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{π}{6}$）的最大值与最小值之和为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 2
• C． 0
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 换元法：令t=sinx，可得-$\frac{1}{2}$≤t≤$\frac{1}{2}$，y=-（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，由二次函数可得．

解答 解：令t=sinx，由-$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{π}{6}$可得-$\frac{1}{2}$≤t≤$\frac{1}{2}$，
∴y=cos²x+sinx=1-sin²x+sinx=-t²+t+1=-（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，
由二次函数可知当-$\frac{1}{2}$≤t≤$\frac{1}{2}$时，y=-（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$单调递增，
∴当t=-$\frac{1}{2}$时，函数取最小值$\frac{1}{4}$，当t=$\frac{1}{2}$时，函数取最大值$\frac{5}{4}$，
∴函数的最大值与最小值之和为$\frac{1}{4}$+$\frac{5}{4}$=$\frac{3}{2}$，
故选：A．

点评 本题考查三角函数的最值，换元并利用二次函数区间的最值是解决问题的关键，属中档题．