Question

3．已知一个四次方程至多有四个根，记为x₁，x₂，…，x_k（k≤4）．若方程x⁴+ax-4=0各个实根
所对应的点$（{x_i}，\frac{4}{x_i}），（i=1，2，…k）$均在直线y=x的同侧，求实数a的取值范围a＜-6或a＞6．

Answer 1

分析 原方程等价于x³+a=$\frac{4}{x}$，原方程的实根是曲线y=x³+a与曲线y=$\frac{4}{x}$ 的交点的横坐标，分别作出左右两边函数的图象：分a＞0与a＜0讨论，可得答案．

解答 解：方程的根显然x≠0，原方程等价于x³+a=$\frac{4}{x}$，
原方程的实根是曲线y=x³+a与曲线y=$\frac{4}{x}$ 的交点的横坐标，
而曲线y=x³+a是由曲线y=x³向上或向下平移|a|个单位而得到的，
若交点$（{x}_{i}，\frac{4}{{x}_{i}}）$（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，
因直线y=x与y=$\frac{4}{x}$交点为：（-2，-2），（2，2）；
所以结合图象可得$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{{（-2）}^{3}+a＞-2}\\{x＜-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{{2}^{3}+a＜2}\\{x＞2}\end{array}\right.$，
解得a＞6或a＜-6．
故答案为：a＞6或a＜-6．

点评 本题综合考查函数与方程的应用，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．考查学生的转化二行推理能力．