Question

6．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1满足彖件：（1）焦点为F₁（-5，0），F₂（5，0）；（2）离心率为$\frac{5}{3}$，求得双曲线C的方程为f（x，y）=0．若去掉条件（2），另加一个条件求得双曲线C的方程仍为f（x，y）=0，则下列四个条件中，符合添加的条件共有   （　　）
①双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1上的任意点P都满足||PF₁|-|PF₂||=6
②双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的虚轴长为4
③双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一个顶点与抛物线y²=6x的焦点重合
④双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线方程为4x±3y=0．

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 利用已知条件求出双曲线方程，然后通过其它体积求出双曲线的标准方程，即可判断选项．

解答 解：双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1满足彖件：（1）焦点为F₁（-5，0），F₂（5，0）；（2）离心率为$\frac{5}{3}$，
可得c=5，a=3，可得b=4，
可得双曲线方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$．
双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1满足彖件：（1）焦点为F₁（-5，0），F₂（5，0）；①双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1上的任意点P都满足||PF₁|-|PF₂||=6，可得c=5，a=3，可得b=4，
可得双曲线方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$．①满足题意．
双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1满足彖件：（1）焦点为F₁（-5，0），F₂（5，0）；②双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的虚轴长为4，可得b=2，显然不满足题意．
双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1满足彖件：（1）焦点为F₁（-5，0），F₂（5，0）；③双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一个顶点与抛物线y²=6x的焦点重合，抛物线的焦点坐标（$\frac{3}{2}$，0），a=$\frac{3}{2}$≠3，显然不满足题意．
双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1满足彖件：（1）焦点为F₁（-5，0），F₂（5，0）；④双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线方程为4x±3y=0．可得$\frac{b}{a}=\frac{4}{3}$，c=5，解得a=3可得b=4，
可得双曲线方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的简单性质，标准方程的求法，命题的真假的判断，是基础题．