题目内容

7．设函数f（x）是定义在（1，+∞）上的一个函数，且有f（x）=2f（$\frac{1}{x}$）$\sqrt{x}$-1，则f（x）=$\frac{2}{3}$$\sqrt{x}$+$\frac{1}{3}$，x∈（1，+∞）．

分析 利用，得到方程，然后求解方程组即可得到结果．

解答 解：f（x）=2f（$\frac{1}{x}$）$\sqrt{x}$-1…①，
$\frac{1}{x}$代替x，可得：f（$\frac{1}{x}$）=2f（x）$\sqrt{\frac{1}{x}}$-1…②，
②代入①可得f（x）=2（2f（x）$\sqrt{\frac{1}{x}}$-1）$\sqrt{x}$-1，
解得：f（x）=$\frac{2}{3}$$\sqrt{x}$+$\frac{1}{3}$，x∈（1，+∞）．
故答案为：$\frac{2}{3}$$\sqrt{x}$+$\frac{1}{3}$，x∈（1，+∞）．

点评 本题考查函数的解析式的求法，基本知识与基本方法的考查．

练习册系列答案
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15．已知奇函数f（x）=$\frac{a•{2}^{x}-2+a}{{2}^{x}+1}$．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的值域；
（3）若对任意t∈（-1，0]，不等式f（t2-mt+7）+f（t2+5t-m）＞0恒成立，求m的取值范围．
18．把二进制数11000转换为十进制数，该十进制数为（　　）
A．48B．24C．12D．6
15．函数y=cos2x+sinx（-$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{π}{6}$）的最大值与最小值之和为（　　）
A．$\frac{3}{2}$B．2C．0D．$\frac{3}{4}$
2．已知f（x）=Asin（wx+φ）$（x∈R，A＞0，w＞0，0＜ϕ＜\frac{π}{2}）$的图象与x轴的交点中，相邻两交点距离为$\frac{π}{2}$，且图象上一个最低点为$M（\frac{2π}{3}，-2）$；
（1）求f（x）的解析式；
（2）将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位，再向上平移1个单位，得到y=g（x）的图象，若y=g（x）在[0，b]上至少有4个零点，求b的最小值．
12．当x＞1时，关于函数f（x）=x+$\frac{1}{x-1}$，下列叙述正确的是（　　）
A．函数f（x）有最小值2B．函数f（x）有最大值2C．函数f（x）有最小值3D．函数f（x）有最大值3
19．已知$cos（\frac{π}{4}-α）=\frac{4}{5}$，则$sin（\frac{π}{4}+α）$=（　　）
A．$\frac{4}{5}$B．$\frac{3}{5}$C．$-\frac{4}{5}$D．$-\frac{3}{5}$
16．设函数f（x）为奇函数，且在（-∞，0）上是减函数，若f（-3）=0，则xf（x）＜0的解集为（　　）
A．（-3，0）∪（3，+∞）B．（-∞，-3）∪（0，3）C．（-∞，-3）∪（3，+∞）D．（-3，0）∪（0，3）
17．函数f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）（x∈R）的图象为C，以下结论正确的是①②．（写出所有正确结论的编号）
①图象C关于直线x=$\frac{11π}{12}$对称；
②图象C关于点（$\frac{2π}{3}$，0）对称；
③函数f（x）在区间（-$\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{2}$）内是增函数；
④由y=sin2x的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位长度可以得到图象C．

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