Question

5．已知f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x²（1-x），f（x）在R上的解析式_f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}（1-x），}&{x≥0}\\{-{x}^{2}（1+x），}&{x＜0}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的性质，利用对称关系进行求解即可．

解答 解：∵f（x）是R上的奇函数，∴f（0）=0，
当x＜0时，-x＞0，
则f（-x）=（-x）²（1+x）=x²（1+x），
又f（x）是R上的奇函数，
则f（-x）=x²（1+x）=-f（x），
即当x＜0时f（x）=-x²（1+x）．
综上f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}（1-x），}&{x≥0}\\{-{x}^{2}（1+x），}&{x＜0}\end{array}\right.$，
故答案为：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}（1-x），}&{x≥0}\\{-{x}^{2}（1+x），}&{x＜0}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查函数解析式的求解，根据函数奇偶性的对称性进行转化求解是解决本题的关键．