Question

10．已知公比不为1的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，S₆=$\frac{63}{32}$，且-a₂，a₄，3a₃成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等比数列的公比为q（q≠1），由等差数列的中项性质，结合等比数列的通项公式，解方程可得q，再由等比数列的求和公式解得首项为1，进而得到所求通项公式；
（2）求得b_n=na_n=n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和．

解答 解：（1）设等比数列的公比为q（q≠1），
由-a₂，a₄，3a₃成等差数列，可得2a₄=-a₂+3a₃，
即有2a₁q³=-a₁q+3a₁q²，
即2q²-3q+1=0，
解得q=$\frac{1}{2}$（q=1舍去），
由S₆=$\frac{63}{32}$，可得$\frac{{a}_{1}（1-\frac{1}{{2}^{6}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{63}{32}$，
解得a₁=1，
则有a_n=a₁q^n-1=（$\frac{1}{2}$）^n-1；
（2）b_n=na_n=n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
前n项和T_n=1•1+2•$\frac{1}{2}$+3•$\frac{1}{4}$+…+n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
$\frac{1}{2}$T_n=1•$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{4}$+3•$\frac{1}{8}$+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
两式相减可得，$\frac{1}{2}$T_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+（$\frac{1}{2}$）^n-1-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
=$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}$-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
化简可得前n项和T_n=4-（2n+4）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ．

点评 本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．